Para responder a esta pregunta, consideremos un cuerpo cualquiera con una masa determinada que está inmóvil respecto al observador. En ese caso, su velocidad es cero, y como
v
= 0, entonces
v/c
= 0 y
(v/c)
2
= 0. Además, √(1 – (
v/c
)
2
) es, por tanto, √1 – 0 ó √1 ó 1.
Esto quiere decir que para un cuerpo inmóvil respecto al espectador, la ecuación de Lorentz es
m
=
k
/1 =
k
. En conclusión,
k
representa la masa de un cuerpo inmóvil respecto al observador. Generalmente se conoce por «masa en reposo» y se escribe
m
0
. La ecuación de Lorentz tal como se da normalmente es, por tanto:
m =
m
0
/√(l – (
v/c
)
2
(Ecuación 2)
La siguiente pregunta es qué es lo que ocurre cuando un objeto se desplaza a velocidades mayores que la velocidad más alta que aparece en la pequeña tabla que hemos dado antes. Supongamos que el objeto se moviera a una velocidad de 1,0
c
con respecto al observador; es decir, a la velocidad de la luz.
En ese caso el denominador de la ecuación de Lorentz sería √(1 – (
v/c
)
2
= √(1 – 1
2
= √(1–1) = √0 = 0. Para un cuerpo que se mueva a la velocidad de la luz, la ecuación de Lorentz queda
m
=
m
0
/0, y si hay algo que no se puede hacer en matemáticas es precisamente dividir por cero. La ecuación de Lorentz deja de tener sentido, matemáticamente hablando, para un cuerpo con masa que se desplace a la velocidad de la luz.
Bien, entonces acerquémonos sigilosamente a la velocidad de la luz, y no tratemos de aterrizar derechitos sobre ella con un estampido.
A medida que aumentamos el valor de v en la ecuación 2, partiendo de 0,9
c
, pero manteniéndolo siempre
menor
que 1,0
c
, el valor del denominador se aproxima cada vez más a cero, y a medida que esto ocurre el valor de
m
aumenta de manera ilimitada. Esto se cumple para cualquier valor de
m
0
, mientras se mantenga mayor que cero. (Inténtenlo ustedes mismos, calculando
m
para valores de v iguales a 0,99
c
, 0,999
c
, 0,9999
c
, y así sucesivamente hasta que pierdan la paciencia.)
En lenguaje matemático diríamos que en cualquier fracción
c
=
a/b
, donde
a
es mayor que 0, a medida que
b
se acerca a cero
c
aumenta de manera ilimitada. Una forma abreviada de expresarlo, que los matemáticos estrictos no aprueban, es que
a
/0 = ∞, donde ∞ representa el aumento sin limites o «infinito».
Así que podemos decir que. para cualquier objeto con masa (por pequeña que sea), la masa tiende a valores infinitos a medida que su velocidad con respecto al observador se acerca a la velocidad de la luz.
Esto quiere decir que el cuerpo no puede llegar a alcanzar la velocidad de la luz (aunque puede acercarse infinitesimalmente a ella), y que desde luego no puede sobrepasarla. Esto se puede demostrar por medio de dos razonamientos distintos.
La única forma que conocemos mediante la cual es posible imprimir a un objeto de una determinada masa una velocidad mayor que la que posee consiste en aplicar una fuerza, produciendo una aceleración. Pero cuanto mayor sea la masa, menor será la aceleración producida al aplicar una determinada fuerza, y, por tanto, a medida que la masa aumenta, acercándose a valores infinitos, la aceleración que puede alcanzar por acción de esta fuerza, por muy grande que sea, tiende a cero. En consecuencia, no es posible imprimir al objeto una velocidad mayor que aquélla para la que su masa se hace infinita.
El segundo razonamiento es el siguiente. Un cuerpo en movimiento tiene una energía cinética que es igual a
mv
2
/2, en donde
m
es su masa y
v
su velocidad. Si se aplica una fuerza a este cuerpo, aumentando de este modo su energía cinética, esa energía puede aumentar debido al aumento de
v
, de
m
o de ambas. A velocidades comunes y corrientes sólo es posible apreciar un aumento de la velocidad, por lo que suponemos (equivocadamente) que la masa permanece constante bajo cualquier condición.
Sin embargo, lo cierto es que al aplicar una fuerza aumentan tanto la masa como la velocidad, pero el aumento de la masa es tan pequeño a velocidades normales que resulta imperceptible. Pero a medida que aumenta la velocidad con respecto al observador, una parte cada vez más grande de la energía añadida al aplicar una fuerza se traduce en un aumento de la masa, y una parte cada vez más pequeña de esta energía se traduce en un incremento de la velocidad. Cuando la velocidad se aproxima mucho a la de la luz, prácticamente todo el incremento de energía se traduce en un aumento de la masa, y prácticamente nada de esta energía se traduce en un aumento de la velocidad. Este cambio en el efecto de la energía añadida es tal que la velocidad final nunca puede llegar a ser igual, ni mucho menos mayor, a la de la luz.
Y no me pregunten por qué. Así es como está hecho el Universo.
Sin embargo, espero que se hayan dado cuenta de que, cuando hablaba del hecho de que la masa se hace infinita a la velocidad de la luz, las realidades matemáticas de la vida me obligaron a añadir: «Esto ocurre sea cual sea el valor de
m
0
, mientras se mantenga mayor que cero.»
Por supuesto, todas las partículas que forman nuestros cuerpos y nuestros aparatos, protones, electrones, neutrones. mesones, hiperones, etc., etc., tienen masas en reposo mayores que cero, así que esta restricción no parece demasiado restrictiva. De hecho, por lo general la gente dice «es imposible alcanzar o sobrepasar la velocidad de la luz», sin especificar que se refieren a objetos cuya masa en reposo es mayor que cero, porque de todas maneras da la impresión de que en esta especificación está incluido prácticamente todo.
Yo mismo no me preocupé de especificarlo en «imposible, no hay más que hablar», y eso fue lo que me hizo vulnerable a la acusación de anticuado. Si
incluimos
esta restricción, entonces todo lo que decía en ese articulo es perfectamente válido.
Pasemos ahora a considerar los cuerpos cuya
m
0
no es mayor que cero.
Pensemos en un fotón, por ejemplo, una «partícula» de las radiaciones electromagnéticas: luz visible, microondas, rayos gamma, etc.
¿Qué sabemos de los fotones? En primer lugar, la energía de un fotón es siempre finita, así que su contenido de energía está entre 0 e ∞. La energía, como demostró Einstein, equivale a la masa según una relación que él expresó como
e
=
mc
2
. Esto significa que a cualquier fotón se le puede asignar una masa cuyo valor es posible calcular con esta ecuación, y que también estará entre O e ∞.
También sabemos que los fotones se mueven (con respecto al observador) a la velocidad de la luz. En realidad, la luz tiene esa velocidad porque está formada por fotones.
Sabiendo estas dos cosas, vamos a dar otra forma equivalente de la ecuación 2:
m
√(1 –
(v/c)
2
=
m
0
(Ecuación 3)
Para un fotón,
v = c
, y ya deberían saber al instante que esto significa que, para un fotón, la ecuación 3 queda:
m
× 0 =
m
0
,(Ecuación 4)
Si un fotón fuera un objeto corriente con masa y se desplazara a la velocidad de la luz, su masa (
m
) sería infinita. Por tanto, la ecuación 4 quedaría ∞ × 0 =
m
0
y una ecuación así no está permitida en matemáticas.
Pero es posible asignar a un fotón un valor de
m
entre 0 e ∞, aunque se desplace a la velocidad de la luz, y para
cualquier
valor entre 0 e ∞ que demos a
m
el valor de
m
0
en la ecuación 4 es igual a 0.
Esto quiere decir que la masa en reposo (
m
0
) de un fotón es igual a cero. Si la masa en reposo es cero, en otras palabras, ese objeto
puede
moverse a la velocidad de la luz.
(Esto tendría que acabar con la eterna pregunta que me hacen algunos corresponsales que creen haber descubierto un fallo en la lógica de Einstein haciendo el siguiente razonamiento: «Si cualquier cosa que se mueva a la velocidad de la luz tiene una masa infinita, ¿cómo es que los fotones no tienen una masa infinita?» La respuesta es que hay que distinguir las partículas con una masa en reposo igual a 0 de las partículas con una masa en reposo mayor que 0. Pero no se preocupen. Los corresponsales seguirán haciendo las mismas preguntas por muchas veces que las explique.)
Pero vamos a ir más lejos. Supongamos que un fotón se desplazara a una velocidad
menor
que la de la luz. En ese caso la cantidad que aparece debajo de la raíz cuadrada de la ecuación 3 seria mayor que cero y se multiplicaría por
m
, que también tiene un valor mayor que cero. Si se multiplican dos valores mayores que cero, el producto (en este caso
m
0
) tiene que ser mayor que cero.
Esto quiere decir que si un fotón se desplazara a una velocidad menor que la de la luz (por muy infinitesimalmente menor que sea), ya no tendría una masa en reposo igual a cero. Lo mismo ocurriría si se desplazara a una velocidad mayor que la de la luz, por muy infinitesimalmente que sobrepasara esta velocidad. (Como veremos enseguida, a la ecuación le ocurren cosas muy extrañas a velocidades mayores que la de la luz, pero. a pesar de todas las cosas raras, no hay ninguna duda de que la masa en reposo no es igual a cero.)
Los físicos insisten en que la masa en reposo de un cuerpo determinado ha de ser constante, ya que todos los fenómenos observados por ellos sólo tienen sentido a condición de que esto ocurra. Para que la masa en reposo de un fotón permanezca constante (es decir, para que sea siempre igual a cero), el fotón tiene que moverse
siempre
a la velocidad de la luz, ni un poquito más ni un poquito menos, siempre que se desplace en el vacío.
Cuando se forma un fotón,
instantáneamente
, sin que transcurra ningún intervalo de tiempo apreciable, empieza a alejarse del lugar de origen a 300.000 kilómetros por segundo. Puede que parezca paradójico, porque para ello es necesario que exista una aceleración infinita, y, por tanto, una fuerza infinita, pero…
La segunda ley de Newton, que relaciona la fuerza, la masa y la aceleración, sólo es válida para cuerpos con una masa en reposo mayor que cero.
No
es válida para cuerpos con una masa en reposo igual a cero.
Así, si se aplica energía a un cuerpo normal en condiciones normales, aumenta su velocidad; si se le quita energía, su velocidad disminuye. Si se aplica energía a un fotón, su frecuencia (y su masa) aumentan, pero su velocidad permanece invariable; si se le quita energía, su frecuencia (y su masa) disminuyen, pero su velocidad permanece invariable.
Pero si esto es así, no parece muy lógico hablar de «masa en reposo» al referirse a los fotones, pues ésta se refiere a la masa que tendría un fotón de estar en reposo, y un fotón nunca puede estar en reposo.
O. M. Bilaniuk y E. C. G. Sudarshan
[13]
han propuesto un término alternativo: «masa correcta». La masa correcta de un objeto es un valor de masa constante inherente a ese cuerpo y que no depende de la velocidad. En el caso de los cuerpos corrientes, esta masa inherente es igual a la masa medida cuando el cuerpo está en reposo. En el caso de los fotones, puede ser calculada mediante deducciones y no mediante la medición directa.
El fotón no es el único cuerpo que puede y
tiene
que desplazarse a la velocidad de la luz. Cualquier cuerpo con una masa correcta igual a cero puede y debe hacer lo mismo. Además de los fotones, existen al menos cinco clases distintas de partículas con una supuesta masa correcta igual a cero.
Una de ellas es el hipotético gravitón, que es el vehículo de la fuerza de gravedad y que posiblemente haya sido por fin detectado en 1969.
Las otras cuatro son los diferentes neutrinos: 1) el neutrino, 2) el antineutrino, 3) el muón-neutrino y 4) el muón-antineutrino.
El gravitón y todos los neutrinos pueden y tienen que desplazarse a la velocidad de la luz. Bilaniuk y Sudarshan proponen que se reúnan todas estas partículas que se desplazan a la velocidad de la luz en el grupo de los «luxones» (de la palabra latina
lux
. luz).
Todas las partículas con una masa correcta mayor que cero, que por tanto no pueden alcanzar la velocidad de la luz y tienen que desplazarse por siempre jamás a velocidades menores, formarían el grupo de los «tardiones». Además, proponen que se diga que los tardiones se desplazan siempre a velocidades «sublumínicas» («más lentas que la luz»).
Pero ¿y si pensáramos en lo impensable y consideramos que hay partículas que se desplazan a velocidades «superlumínicas» («más rápidas que la luz»)? Bilaniuk, Deshpande y Sudarshan fueron los primeros en hacerlo en 1962, ateniéndose estrictamente a los principios de la relatividad (en contraste con las simples especulaciones de la ficción científica). Su trabajo ocupó por fin los grandes titulares cuando Gerald Feinberg publicó un estudio similar en 1967. (Fue el trabajo de Feinberg el que provocó el articulo en
Time.
)
Supongamos que una partícula se desplaza a una velocidad de 2
c
, es decir, el doble de la velocidad de la luz. En ese caso,
v/c
sería 2
c/c
, ó 2, y
(v/c)
2
sería igual a 4. El término √(1 –
(v/c)
2
quedaría
√(1 – 4)
ó
√–3
, ó
√/3 √–1
.
Como √–1 se suele representar con la letra
i
, y como √3 es aproximadamente 1,73, podemos decir que para una partícula que se desplace al doble de la velocidad de la luz, la ecuación 3 queda: