El universo elegante (46 page)

En realidad, veremos que, para hacer más estrecha la analogía con la teoría de cuerdas, tendríamos que considerar lo que sucedería si usted en su inversión inicial no dividiera el dinero a partes iguales entre las acciones de las dos empresas, sino que comprara, por ejemplo, 1.000 acciones de la empresa de aparatos de gimnasia y 3.000 acciones de la empresa de válvulas para el corazón. En este caso, el valor total de sus inversiones depende de cuál sea la empresa que cierra al alza y cuál la que cierra a la baja. Por ejemplo, si las acciones cierran a 10 dólares (las de aparatos de gimnasia) y a 10 centavos (las de válvulas), su inversión inicial de 4.000 dólares tendrá ahora un valor de 10.300 dólares. Si sucede a la inversa —que las acciones cierran a 10 centavos (las de aparatos de gimnasia) y a 10 dólares (las de válvulas)— su inversión valdrá 30.100 dólares, un capital significativamente mayor.

Sin embargo, la relación inversa entre las cotizaciones de las acciones al cierre sí que garantiza lo siguiente. Si un amigo suyo invierte exactamente «al contrario» de como lo hace usted —3.000 acciones de la empresa de aparatos de gimnasia y 1.000 acciones de la empresa de válvulas para el corazón— entonces el valor de la inversión de su amigo será de 10.300 dólares si las acciones cierran «altas las de las válvulas/bajas las de los aparatos de gimnasia» (lo mismo que la inversión de usted en el cierre «altas las de los aparatos de gimnasia/bajas las de las válvulas») y de 30.100 dólares si cierran «altas las de los aparatos de gimnasia/bajas las de las válvulas» (de nuevo igual que la inversión de usted en la situación recíproca). Es decir, desde el punto de vista del valor total de las acciones, el hecho de intercambiar las acciones que cierran al alza con las que cierran a la baja queda compensado exactamente intercambiando el número de acciones que posee usted de cada empresa.

Recordemos esta última observación mientras volvemos a la teoría de cuerdas y pensemos sobre las posibles energías de las cuerdas en un ejemplo específico. Supongamos que el radio de la dimensión circular de la manguera es, por ejemplo, diez veces la longitud de Planck. Lo escribiremos
R
= 10. Una cuerda puede enrollarse alrededor de esta dimensión circular una vez, dos veces, tres veces, y así sucesivamente. El número de veces que una cuerda se enrolla alrededor de la dimensión circular se llama su
número de enrollamiento
. La energía que procede del enrollamiento, que está determinada por la longitud de la cuerda enrollada, es proporcional al
producto
del radio por el número de enrollamiento. Adicionalmente, con cualquier número de enrollamiento, la cuerda puede estar sometida a un movimiento vibratorio. Dado que las vibraciones uniformes que estamos considerando ahora tienen energías que son inversamente dependientes del radio, estas energías son proporcionales a los múltiplos enteros del
inverso
del radio —1/
R
— que en este caso es un décimo de la longitud de Planck. A este múltiplo entero lo llamamos
número de vibración
.
^[88]

Como se puede ver, esta situación es muy similar a lo que vimos en Wall Street, porque los números de enrollamiento y de vibración son analogías directas de las acciones de las dos empresas, mientras que
R
y 1/
R
corresponden a las cotizaciones de cierre por acción de cada empresa. Entonces, del mismo modo que usted puede calcular fácilmente el valor total de su inversión a partir del número de acciones que posee en cada empresa y las cotizaciones al cierre de la sesión, también podemos calcular la energía total que transporta una cuerda en términos de su número de vibración, su número de enrollamiento y el radio. En la Tabla 10.1 ofrecemos una lista parcial de estas energías totales para varias configuraciones de cuerdas, que especificamos indicando sus números de enrollamiento y de vibración en un universo manguera de radio
R
= 10.

Tabla 10.1
Ejemplo de configuraciones de vibración y bobinado de una cuerda que se mueve en el universo mostrado en la Figura 10.3, con radio
R
= 10. Las energías de vibración contribuyen en múltiplos de 1/10 y las energías de bobinado contribuyen en múltiplos de 10, produciendo las energías totales listadas. La unidad de energía es la energía de Planck, así por ejemplo, 10.1 en la última columna significa 10.1 veces la energía de Planck.

Una tabla completa sería infinitamente larga, ya que los números de enrollamiento y vibración pueden tomar valores enteros arbitrarios, pero este fragmento representativo de la tabla es adecuado para nuestra explicación. A partir de la tabla y de nuestras observaciones vemos que estamos en una situación de «alta energía de enrollamiento/baja energía de vibración»: las energías de enrollamiento vienen dadas en múltiplos de 10, mientras que las energías de vibración se presentan en múltiplos de un número menor, que es 1/10.

Supongamos ahora que el radio de la dimensión circular se reduce, por ejemplo, de 10 a 9,2 y luego a 7,1 y así sucesivamente a 3,4, 2,2, 1,1, 0,7, hasta llegar a 0,1 (1/10), donde, por lo que respecta a esta discusión, se detiene. En esta forma geométricamente distinta del universo de la manguera, podemos recopilar las energías de las cuerdas en una tabla análoga: las energías de enrollamiento son ahora múltiplos de 1/10, mientras que las energías de vibración son múltiplos de su inverso, es decir, de 10. Estos resultados se muestran en la Tabla 10.2.

A primera vista, las dos tablas podrían parecer diferentes, pero, si se examinan más detenidamente, se observa que, aunque estén dispuestas en un orden diferente, las columnas de la «energía total» de ambas tablas tienen entradas
idénticas
. Para encontrar la entrada que en la Tabla 10.2 corresponde a una entrada determinada de la Tabla 10.1, basta con intercambiar los números de vibración y de enrollamiento. Es decir, los datos de vibración y de enrollamiento desempeñan papeles complementarios cuando el radio de la dimensión circular cambia de 10 a 1/10. Y así, por lo que respecta a las energías totales de las cuerdas,
no hay distinción
entre estos tamaños diferentes de la dimensión circular. Al igual que el intercambio de «altas las acciones de los aparatos de gimnasia/bajas las de las válvulas» por «altas las de las válvulas/bajas las de los aparatos de gimnasia» se compensa de manera exacta intercambiando el número de acciones de cada empresa que se posee, el intercambio de radio 10 por radio 1/10 se compensa exactamente intercambiando los números de vibración y enrollamiento. Además, aunque para hacer las cosas más sencillas hemos elegido un radio inicial
R
= 10 y su inverso 1/10, se llegaría a las mismas conclusiones eligiendo cualquier valor del radio y su inverso correspondiente.
^[89]

Tabla 10.2
Como en la Tabla 10.1, excepto que el radio es ahora tomado como 1/10.

Las tablas 10.1 y 10.2 están incompletas por dos razones. En primer lugar, como ya se ha dicho, sólo hemos incluido en la lista unas pocas de las infinitas posibilidades de los números de enrollamiento y vibración que puede asumir una cuerda. Esto, desde luego, no plantea ningún problema —podríamos hacer las tablas tan largas como nos lo permitiera la paciencia y hallaríamos que la relación entre ellas sigue cumpliéndose—. En segundo lugar, además de la energía de enrollamiento, hasta ahora sólo hemos tenido en cuenta las contribuciones energéticas que se derivan del movimiento de vibración uniforme de una cuerda. Ahora deberíamos incluir también las vibraciones ordinarias, ya que éstas aportan contribuciones adicionales a la energía total de las cuerdas y determinan asimismo las cargas de fuerza que transportan. Lo importante, sin embargo, es que las investigaciones han puesto de manifiesto que estas contribuciones no dependen del tamaño del radio. Por lo tanto, aunque incluyéramos estas características más detalladas de los atributos de las cuerdas en las Tablas 10.1 y 10.2, dichas tablas seguirían manteniendo la misma correspondencia, ya que las contribuciones vibratorias ordinarias afectan a cada tabla de idéntica manera. Por consiguiente, llegamos a la conclusión de que las masas y las cargas de las partículas en un universo de manguera de radio
R
son en todo idénticas a las de un universo manguera de radio 1/R. Y, puesto que estas masas y cargas de fuerza gobiernan la física fundamental, no hay modo de distinguir físicamente estos dos universos geométricamente distintos. Cualquier experimento realizado en uno de estos universos tiene un experimento correspondiente que se puede llevar a cabo en el otro exactamente con los mismos resultados.

George y Gracie, después de volverse planos convirtiéndose en dos seres bidimensionales, se van a residir como profesores de física en el universo de la manguera. Después de instalar sus propios laboratorios en competencia mutua, cada uno de ellos afirma haber determinado el tamaño de la dimensión circular. Sorprendentemente, aunque ambos tienen la reputación de llevar a cabo sus investigaciones con gran precisión, sus conclusiones no concuerdan. George afirma que el radio circular es
R
= 10 veces la longitud de Planck, mientras que Gracie dice que el radio circular es
R
= 1/10 veces la longitud de Planck.

«Gracie», dice George, «basándome en mis cálculos, realizados según la teoría de cuerdas, sé que la dimensión circular tiene un radio cuya medida es 10, por lo que espero ver cuerdas cuyas energías figuran en la Tabla 10.1. He realizado otros experimentos utilizando el nuevo acelerador de energías de Planck y ha resultado que mi predicción queda confirmada con toda exactitud. Por consiguiente, estoy seguro de que la dimensión circular tiene un radio
R
= 10». Gracie, para defender su afirmación, expresa exactamente las mismas observaciones, salvo la conclusión de que la lista de energías de la Tabla 10.2 queda comprobada, confirmando que el radio es
R
= 1/10.

En un relámpago de inspiración, Gracie muestra a George que las dos tablas, aunque estén dispuestas de forma diferente, son en realidad idénticas. Ahora George que, como ya se sabe, razona un poco más despacio que Gracie, replica: «¿Cómo puede ser esto? Yo sé que valores diferente del radio dan lugar, por las propiedades básicas de la mecánica cuántica y las propiedades de las cuerdas enrolladas, a diferentes valores posibles para las energías y las cargas de las cuerdas. Si estamos de acuerdo en esto último, entonces también debemos estar de acuerdo en el valor del radio».

Gracie, utilizando sus recién descubiertas ideas sobre física de cuerdas, responde: «Lo que dices es casi, pero no del todo, correcto. Es
usualmente
cierto que dos valores diferentes del radio dan lugar a diferentes energías posibles. Sin embargo, en el caso especial de que dos valores del radio estén relacionados inversamente el uno con el otro —como 10 y 1/10— entonces las energías y cargas posibles son en realidad idénticas. Lo único que sucede es que lo que tú llamarías modo de enrollamiento, yo lo llamaría modo de vibración, y lo que tú llamarías modo de vibración, yo lo llamaría modo de enrollamiento. Pero a la naturaleza no le importa el lenguaje que utilicemos. Por el contrario, la física está gobernada por las propiedades de los
ingredientes fundamentales
—las masas (energías) de las partículas y las cargas de fuerza que dichas partículas transportan—. Pero, tanto si el radio es
R
como si es 1/R, la totalidad de la lista de propiedades de los constituyentes es idéntica en el marco de la teoría de cuerdas».

En un momento de audaz comprensión, George responde: «Creo que lo he comprendido. Aunque los detalles de la descripción de las cuerdas que tú y yo podamos hacer sean posiblemente diferentes —el hecho de si las cuerdas están enrolladas en torno a la dimensión circular, o las particularidades de su comportamiento vibratorio— la totalidad de la lista de características físicas que pueden alcanzar es la misma. Por lo tanto, dado que las propiedades físicas del universo dependen de estas propiedades de los constituyentes básicos, no hay distinción ni modo de diferenciar entre los casos de radios que están en una relación inversa el uno con respecto al otro». Exactamente.