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Authors: Malba Tahan
En algunos autores encontramos este mismo y curioso problema, de origen folklórico, en el que el total de camellos es 17 y no 35. Ese problema de de los 17 camellos puede leerse en centenares de libros de entretenimientos matemáticos.
Para el total de 17 camellos, la división se hace por medio de un artificio idéntico –aumentando en un camello la herencia del jeque-, pero el resto es solo el camello en que fue aumentada. En el caso del total de 35 camellos, como ocurrió en el episodio de Beremiz, el resto es más interesante, pues el calculador obtiene una pequeña ganancia con su habilidad.
Si el total fuera 53 camellos, la división de la herencia hecha del mismo modo, aplicando el artificio, daría un resto de 3 camellos.
He aquí los números que podrían utilizarse: 17, 35, 53, 71, etc.
El problema del joyero
La dificultad del problema tiene su origen en la siguiente particularidad, que puede ser fácilmente comprendida:
No se verifica la proporcionalidad entre el precio cobrado por el hospedaje y la cantidad por la que las joyas serían vendidas.
Veamos:
Si el joyero vendiera las joyas por 100, pagaría 20 por el hospedaje. Si las vendiera por 200 tendría que pagar 40 y no 35 por el hospedaje.
No hay pues, como sería racional, una proporcionalidad entre los elementos del problema.
Lo proporcional, en buena lógica sería:
Para 100 –de venta- …………………….. hospedaje 20
Para 200 –de venta- …………………….. hospedaje 40
El acuerdo de los interesados fue, sin embargo, éste:
Para 100 –de venta- …………………….. hospedaje 20
Para 200 –de venta- …………………….. hospedaje 35
Admitida esta relación de valores y siendo 140 el importe de la venta, el precio del hospedaje podrá establecerse aplicando la fórmula de interpolación.
El problema de los cuatro cuatros
El problema de los cuatro cuatros es el siguiente:
“Escribir con cuatro cuatros y signos matemáticos una expresión que sea igual a un número entero dado. En la expresión no puede figurar –aparte de los cuatro cuatros- ninguna cifra o letra o símbolo algebraico que suponga letras, tal como: log, lim, etc.
Afirman los pacientes calculadores que será posible escribir con cuatro cuatros todos los números enteros desde 0 hasta 100.
A veces será necesario recurrir al signo de factorial –que se indica con el signo ! después del número y equivale al producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el número dado- y al de raíz cuadrada.
La raíz cúbica no puede ser empleada a causa del índice 3.
La factorial de 4, representada por la notación 4!, es igual al producto 1 x 2 x 3 x 4, es decir, 24.
Con auxilio del factorial de cuatro escribo fácilmente la expresión:
4
4! + 4! + ---
4
cuyo resultado es 49, pues es expresión equivalente a 24 – 24 + 1.
Véase ahora la expresión:
4
4! x 4 + ---
4
cuyo valor es 97.
Para ciertos números, las formas presentadas por algunos matemáticos son algo forzadas. Así, para el número 24, la solución dada por uno de ellos, exigiría dos raíces cuadradas, una división y una suma.
Para el número 24 podemos indicar una solución más sencilla con ayuda de la notación factorial:
4! + 4 (4-4)
Del número 24 es fácil pensar al 25:
25 = 4! – 44-4
Expresión de rara belleza, en la que aparece el exponente cero. Sabemos que toda cantidad elevada a cero es igual a 1. Luego la segunda parte de la expresión es 1.
El número 26 aparecerá bajo una forma bastante sencilla:
4 + 4
26 = 4! + -------
4
El problema de las 21 vasijas
Admite este problema una segunda solución tan ingeniosa como la primera, que sería la siguiente:
El 1° socio recibirá: 1 vasija llena, 5 mediadas y 1 vacía.
El 2! Socio recibirá: 2 vasijas llenas, 1 mediada y 3 vacías.
El 3° socio recibirá lo mismo que el segundo, es decir: 3 vasijas llenas, 1 mediada y 3 vacías.
En el libro del Dr. Jules Regnault, Les Calculateurs Prodiges, encontramos un problema semejante a los anteriores, cuyo enunciado es el siguiente:
Repartir, a partes iguales, 24 vasijas, 5 de ellas llenas, 8 vacías y 11 medidas entre tres personas.
La solución no habrá de ofrecer ninguna dificultad.
Bajo el título Un Partage Difficile, encontramos el siguiente problema:
“Un comerciante tiene una vasija con 24 litros de vino. Quiere repartir este vino entre tres socios en tres partes iguales con 8 litros cada una. El mercader solo dispone de tres vasijas vacías cuya capacidad es respectivamente, 13 litros, 11 litros y 5 litros. Usando estas tres vasijas ¿Cómo podrá dividir el vino en 3 porciones de 8 litros cada una?”
Se trata de un problema de otro tipo, pero de muy fácil solución para obtener la cual es menester efectuar las operaciones, en nueve tiempos.
El número π
El número π, uno de los más famosos en la Matemática, ya era conocido por los geómetras en la Antigüedad, así como la constancia de su valor.
Todo nos lleva a afirmar, conforme podemos inferir de dos citas bíblicas bien claras, que los judíos primitivos atribuían al número un valor entero igual a 3. en el Libro de los Reyes, podemos leer realmente esta curiosa indicación:
“Hizo asimismo un mar redondo de fundición de diez codos de uno a otro lado, y de cinco codos de altura, y la medida de su circunferencia era un hilo de treinta codos”.
Ese mar de fundición, aclara el exegeta, era en realidad un pequeño pozo –de acuerdo con la costumbre egipcia- donde se bañaban.
Teniendo tal pozo redondo treinta codos de circunferencia, su diámetro era de 10 codos. La conclusión era bien clara. La relación ente la circunferencia -30- y el diámetro -10- es exactamente 3. Es ese el valor de π revelado por la Biblia.
En el papiro Rhind, que es uno de los documentos más antiguos de la Historia de la Matemática, encontramos un curioso proceso de cálculo de la circunferencia c, cuando conocemos su diámetro d. De las indicaciones reveladas en el Papiro, inferimos que los geómetras egipcios, 4000 años a. de C. atribuían al número un valor equivalente al cuadrado de la fracción
16
----
9
que daría en número decimal 3.1605, valor en el que π presenta un error que no llega a 2 centésimas de unidad.
Arquímedes, ya en el siglo II a. de C., probó que el famoso número debería estar comprendido entre las fracciones siguientes:
1 10
3 ---- y 3 -----
7 71
Bhaskhara, geómetra hindú, admitía para el número π un valor expresado por el número:
17
3 -------
120
que equivale al número decimal 3.1416.
El matemático holandés Adrián Anthonisz, llamado Metius, (1527-1607), según los historiadores, tomó el valor
355
113
para el número π, que fue muy empleado durante los siglos XVI y XVII.
El alemán Johann Heinrich Lambert, (1728-1777) tuvo la paciencia de obtener para el valor de una fracción ordinaria cuyo numerador tenía dieciséis cifras y el denominador quince.
Para la fijación de un valor aproximado de π -en número decimal- por medio de un artificio nemotécnico, existen varias frases.
El matemático francés Maurice Decerf, gran investigador de curiosidades, escribió un poema en el que cada palabra, por el número de letras que contiene, corresponde a una cifra del número π -en decimal-.
Vamos a indicar los dos primeros versos de este poema:
Que j’aime à faire connaître un nombre utile aux sages Glorieux Archimède artiste ingenieux.
El lector puede contar a partir del que inicial el número de letras de cada palabra y obtendrá –para cada palabra- una cifra de la parte decimal de π:
3, 14 159 265 358 979
El curioso poema de Decerf, en su integridad, dará el valor de π con 126 casillas decimales. Pero en esas 126 primeras casillas decimales de π aparecen once ceros. Cada cero lo representó el ingenioso poeta por medio de una palabra de diez letras.
Para el valor de π, existen también frases nemotécnicas en español, portugués, alemán e inglés.
Actualmente, gracias a las máquinas electrónicas, el valor de π es conocido con más de diez mil cifras decimales.
No pertenece el número π al conjunto de los números racionales. Figura entre los números que los analistas denominan números trascendentes.
He aquí una serie famosa, debida a Leibniz, cuya suma es π:
1 1 1 1
1 - --- + --- - --- + --- - …
3 5 7 9
El número de términos de esta serie es infinito y éstos son, alternativamente positivos y negativos.
NOTA.- Del libro Les Mathématiques et l’imagination –Ed. Payot, París 1950, pág. 59- de los matemáticos Edgard Kasner y James Newman, copiamos el párrafo siguiente:
“Recurriendo a series convergentes, Abraham Sharp, en 1669 calculó con 71 decimales. Dase, calculador rápido como un relámpago, orientado por Gauss, calculó en 1824 el número con 200 decimales. En 1854 el alemán Richter halló 500 decimales para el número π, y Shanks, algebrista inglés, alcanzó la inmortalidad de los geómetras determinando el número π con 707 cifras decimales.”
En nota incluida en su libro, el matemático francés F. Le Lionnais mutila y oscurece la gloria de Shanks. Escribe Le Lionnais:
“Se comprobó más tarde que el cálculo de Shanks, está equivocado a partir de la cifra 528”.
El problema del juego de ajedrez
Este es sin duda uno de los problemas más famosos en los amplios dominios de la Matemática recreativa. El número total de granos de trigo, de acuerdo con la promesa del rey Iadava, vendrá expresado por la suma de los sesenta y cuatro primeros términos de la progresión geométrica:
::1 :2 :4 :8 :16 :32 :64 :…
La suma de los indicados 64 primeros términos de esta progresión se obtiene por medio de una fórmula muy sencilla estudiada en la Matemática Elemental.
Aplicando dicha fórmula obtenemos para el valor de la suma S
S = 264 – 1
Para obtener el resultado final debemos elevar el número 2 a la sexagésima cuarta potencia, esto es; multiplicar 2 x 2 x 2 x 2… con sesenta y cuatro factores iguales a 2. Después del trabajoso cálculo llegamos al siguiente resultado:
S = 18 446 744 073 709 551 616 – 1
Queda ahora por efectuar la sustracción. De tal potencia de dos restar 1, y obtenemos el resultado final:
S = 18 446 744 073 709 551 615
Este número gigantesco de veinte cifras expresa el total de granos de trigo que el legendario rey Iadava prometió en mala hora al no menos legendario Lahur Sessa, inventor del juego de ajedrez.
Hecho el cálculo aproximado para el volumen astronómico de dicha masa de trigo, afirman los calculadores que la Tierra entera, convertida de Norte a Sur en un sembrado, con una cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad de trigo.
El matemático francés Etienne Ducret incluyó en su libro, junto con otros comentarios, los cálculos realizados por el famoso matemático inglés John Wallis, para expresar el volumen de la colosal masa de trigo que el rey de la India prometió al astuto inventor del ajedrez. De acuerdo con Wallis, el trigo costaría en aquel tiempo al soberano hindú un total de libras expresado por el número:
855 056 260 444 220
¡Es decir más de 855 billones de libras!
Si por simple pasatiempo, contáramos los granos de trigo del montón S, a razón de 5 por segundo, trabajando día y noche sin parar, dedicaríamos a esta tarea 1.170 millones de siglos. Repetimos
¡Mil ciento setenta millones de siglos!
De acuerdo con el relato de Beremiz, el Hombre que Calculaba, el ingenioso Lahur Sessa, inventor del juego de ajedrez, relevó a su soberano de su promesa, sacándolo así de un gravísimo compromiso, ya que por primera vez se hallaba ante la imposibilidad de cumplir la palabra empeñada. En efecto, solo para pagar una pequeña parte de aquella deuda, el honrado soberano hubiese tenido que entregar a Lahur Sessa todas sus tierras, todos sus palacios, todos sus esclavos, sus tesoros y riquezas. Despojado de todos sus bienes quedaba reducido a la miseria más absoluta y su condición social caía al nivel de un miserable sudra.
También nos dice el relato de Beremiz que el rey, olvidando la montaña de trigo que sin querer había prometido al joven brahmán, le nombró primer visir.
El problema de las abejas
x x x x
--- + --- + 3 (--- - ---) + 1 = x
5 3 3 5
Esta ecuación admite una raíz que es 15. Ese número expresa la solución del problema. La notación algebraica era muy distinta en tiempos de Bhaskhara.
Ese problema aparece en diversas formas en los libros de Entretenimientos Matemáticos.
Con los recursos del Algebra podemos resolverlo de manera general e indicar la fórmula final para el cálculo de la incógnita.
Designando con x el número de monedas, la solución sería:
x = 81 K – 2
donde el parámetro k es un número natural cualquiera (k = 1, 2, 3, …)
Los valores posibles de x son:
79, 160, 241, 322, 403, 484…
Cualquier término de esta sucesión podría servir para el total de monedas en el problema de los tres marineros. Es preciso, sin embargo, limitar el valor de x.
Constando en el enunciado la afirmación de que el número de monedas es superior a 200 y que no llegaba a 300, el Hombre que Calculaba adoptó el valor 241 que era el único que servía para el caso.
El problema del número cuatripartito
El llamado problema del número cuatripartito aparece en muchos libros didácticos, aunque es un problema de naturaleza puramente algebraica, que sólo debería ser incluido en la Aritmética Recreativa.
En su enunciado más sencillo, el problema sería el siguiente:
“Dividir un número A en cuatro partes tales que la primera, aumentada en m, la segunda disminuida en m, la tercera multiplicada por m y la cuarta dividida por m, den el mismo resultado”.
Dos son los elementos fundamentales del problema:
El número A, que debe ser cuatripartito.
El operador m.
Con los recursos del Algebra elemental será fácil resolver de modo general el problema.