El universo elegante (77 page)

^[10]
Para el lector aficionado a las matemáticas, hemos de precisar que desde la posición del espacio-tiempo dada por el vector de dimensión cuatro
x
= (
ct
,
x
₁
,
x
₂
,
x
₃
) = (
ct
,
x
^→
) podemos obtener el vector de dimensión cuatro de la velocidad
u
=
dx/dτ
, donde
τ
es el propio tiempo definido por
dτ
²
=
dt
²
–
c
²
(
dx
₁
²
+
dx
₂
²
+
dx
₃
²
). Entonces la «velocidad a través del espacio-tiempo» es la magnitud del vector
u
cuadridimensional, √[(
c
²
dt
²
–
dx
^→
2
) / (
dt
²
–
c
²
dx
^→2
)], que es igual a la velocidad de la luz c. Ahora bien, podemos reordenar la ecuación
c
²
(
dt/dτ
)
²
– (
dx
^→
/
dτ
)
²
=
c
²
, para que sea
c
²
(
dτ/dt
)
²
+ (
dx
^→
/
dt
)
²
=
c
²
Esto demuestra que un aumento en la velocidad de un objeto que atraviesa el espacio, √[(
dx
^→
/
dt
)
²
] debe estar acompañado por una disminución en dr/dt, siendo esto último la velocidad del objeto a través del tiempo (la velocidad a la cual el tiempo transcurre en su propio reloj, en comparación con la de nuestro reloj inmóvil,
dt
).
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^[11]
Isaac Newton,
Sir Isaac Newton’s Mathematical Principle of Natural Philosophy and His System of the World
, transcription de A. Motte y Florian Cajori (University of California Press, Berkeley, 1962), vol. I, p. 634.
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^[12]
Precisando un poco más, Einstein constató que el principio de equivalencia es aplicable siempre y cuando las observaciones estén confinadas en una región del espacio suficientemente pequeña —es decir, siempre que el «compartimento» sea suficientemente pequeño—. La razón es la siguiente: los campos gravitatorios pueden variar en intensidad (y en dirección) de un lugar a otro. Pero estamos suponiendo que la totalidad del compartimento se acelera como una sola unidad y por consiguiente esa aceleración simula un campo gravitatorio único y uniforme. Sin embargo, cuando el compartimento se va haciendo cada vez más pequeño, hay cada vez menos espacio suyo sobre el que pueda variar un campo gravitatorio y, por lo tanto, el principio de equivalencia se hace cada vez más aplicable. Técnicamente, la diferencia entre el campo gravitatorio uniforme simulado por un punto de observación acelerado y un campo gravitatorio «real» y posiblemente no uniforme creado por algún conjunto de cuerpos dotados de masa se conoce con el nombre de campo gravitatorio «mareal» (ya que explica el efecto gravitatorio de la Luna sobre las mareas que se producen en la Tierra). Por consiguiente, esta nota se puede resumir diciendo que los campos gravitatorios mareales se vuelven menos perceptibles a medida que el tamaño del compartimento disminuye, haciendo que el movimiento acelerado y un campo gravitatorio «real» sean indistinguibles.
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^[13]
Albert Einstein, según se cita en
Albert Einstein
, de Albrecht Folsing (Viking, Nueva York, 1997), p. 315.
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^[14]
John Stachel, «Einstein and the Rigidly Rotating Disk», en
General Relativity and Gravitation
, ed. A. Held (Plenum, Nueva York, 1980), p. 1.
<<

^[15]
El análisis de la vuelta en el Tornado o del «disco de rotación rígida», como se denomina en un lenguaje más técnico, induce fácilmente a caer en una confusión. De hecho, hasta ahora no existe un acuerdo general sobre cierto número de aspectos sutiles de este ejemplo. En el texto hemos seguido el espíritu del propio análisis de Einstein, y en esta nota continuamos con este punto de vista e intentamos clarificar un par de características que han podido parecer confusas al lector. En primer lugar, puede que usted se pregunte por qué la circunferencia del Tornado no sufre la contracción de Lorentz exactamente de la misma manera que la regla, con lo que Slim habría medido la misma longitud que habíamos obtenido nosotros inicialmente. Pero, tenga en cuenta que a lo largo de nuestra explicación el Tornado siempre estaba girando:
nunca
lo hemos analizado cuando estaba inmóvil. Así pues, desde nuestra perspectiva de observadores inmóviles, la única diferencia entre la medición de la circunferencia hecha por Slim y la nuestra es que la regla de Slim sufre la contracción de Lorentz; el Tornado estaba girando cuando realizamos nuestra medición, y está girando cuando vemos que Slim realiza la suya. Como vemos que su regla está contraída, nos damos cuenta de que tendrá que colocarla más veces para recorrer toda la circunferencia, con lo que mide una longitud mayor que la que medimos nosotros. La contracción de Lorentz que experimenta la circunferencia del Tornado habría sido importante sólo si se comparaban las propiedades de esta atracción de feria cuando está girando con las propiedades que tiene cuando está parada, pero no necesitábamos esta comparación.

En segundo lugar, a pesar del hecho de que no necesitábamos analizar el Tornado cuando estaba parado, puede que el lector se pregunte qué
podría
suceder cuando va reduciendo la velocidad y se para. Ahora bien, parece que deberíamos tomar en consideración la cambiante circunferencia con una velocidad también cambiante debida a los distintos grados de la contracción de Lorentz. Pero ¿cómo se puede compaginar esto con el hecho de que el radio sea invariable? Se trata de un sutil problema cuya resolución depende del hecho de que en el mundo real no existen objetos totalmente
rígidos
. Los objetos se pueden estirar y combar y, de esa forma, acomodarse a los estiramientos y contracciones que hemos descubierto; si no es así, como Einstein indicó, un disco en rotación (que inicialmente se formó a partir de una pieza de metal fundido que giraba y se enfrió mientras estaba en movimiento) se rompería en pedazos si su velocidad de rotación sufriera cambios sucesivos. Para más detalles sobre la historia del disco de rotación rígida, véase Stachel, «Einstein and the Rigidly Rotating Disk».
<<

^[16]
El lector experto reconocerá que en el ejemplo de las vueltas del Tornado, es decir, en el caso de un marco de referencia que gira uniformemente, las secciones espaciales tridimensionales curvas en las que hemos centrado la explicación encajan conjuntamente en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones cuya curvatura todavía se desvanece.
<<

^[17]
Hermann Minkowski, como se cita en Folsing,
Albert Einstein
, p. 189.
<<

^[18]
Entrevista con John Wheeler, 27 de enero de 1998.
<<

^[19]
Aun así, los relojes atómicos existentes tienen la precisión suficiente para detectar esos pequeños alabeos del tiempo, y también otros aún más pequeños. Por ejemplo, en 1976 Robert Vessot y Martin Levine, del
Harvard-Smithsonian Astrophysical Observatory
, junto con colaboradores de la
National Aeronautics and Space Administration
(NASA), lanzaron un cohete Scout D desde Wallops Island, en Virginia, que transportaba un reloj atómico cuya precisión era aproximadamente de hasta una billonésima de segundo por hora. Esperaban demostrar que cuando el cohete ganara altitud (disminuyendo así el efecto del tirón gravitatorio de la Tierra), un reloj atómico idéntico situado en la Tierra (sometido de lleno a la fuerza de la gravedad terrestre) marcaría el tiempo más lentamente. Mediante un flujo de señales de microondas que circulaban en sentido doble, los investigadores pudieron comparar la velocidad a la que marcaban el tiempo los dos relojes atómicos y, en efecto, a la máxima altitud del cohete, que fue de unos 9.650 kilómetros, su reloj atómico iba a una velocidad de aproximadamente 4 milmillonésimas más rápido que el reloj situado en la Tierra, lo cual coincidía con las predicciones teóricas, salvo un error de menos del 0,01 por 100.
<<

^[20]
A mediados de la década de 1800, el científico francés Urbain Jean Joseph Le Verrier descubrió que el planeta Mercurio se desviaba ligeramente de la órbita alrededor del Sol predicha por la ley de la gravedad de Newton. Durante más de medio siglo, se dio toda una gama de explicaciones —la influencia gravitatoria de un planeta o anillo planetario aún sin descubrir, una luna desconocida, el efecto del polvo interplanetario, el achatamiento del Sol en sus polos— sobre lo que se llama precesión orbital por exceso del perihelio (en lenguaje llano, al final de cada órbita, Mercurio no da la vuelta exactamente donde la teoría de Newton dice que debería hacerlo), pero ninguna tuvo la fuerza suficiente como para conseguir una aceptación general. En 1915, Einstein calculó la precesión del perihelio de Mercurio utilizando sus recién descubiertas ecuaciones de la relatividad general y halló una respuesta que, según él mismo confesó, le dio palpitaciones cardíacas: el resultado obtenido a partir de la relatividad general coincidía exactamente con el de las observaciones. Ciertamente, este éxito fue un motivo importante para que Einstein tuviera tanta fe en su teoría, pero casi todos los demás científicos esperaban la confirmación de una predicción, en vez de la explicación de una anomalía previamente conocida. Para más detalles, véase Abraham Pais,
Subtle Is the Lord
(Oxford University Press, Nueva York, 1982), p. 253.
<<

^[21]
Robert P. Crease y Charles C. Mann,
The Second Creation
(New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press, 1996), p. 39.
<<

^[22]
Sorprendentemente, investigaciones recientes sobre la velocidad concreta de la expansión cósmica sugieren que el universo puede, de hecho, tener una constante cosmológica muy pequeña pero no nula.
<<

^[23]
Richard Feynman,
The Character of Physical Law
(Cambridge, Mass.: MIT Press, 1965), p. 129.
<<

^[24]
Aunque el trabajo de Planck resolvía el enigma de la energía infinita, aparentemente no era este objetivo el que motivó directamente dicho trabajo. Lo que Planck estaba buscando era comprender un asunto estrechamente relacionado con dicho enigma: los resultados experimentales relativos a cómo se distribuye la energía en un horno caliente —un «cuerpo negro», para ser más precisos— según varios intervalos de longitudes de onda. Para más detalles sobre la historia de estos descubrimientos, el lector que esté interesado deberá consultar la obra de Thomas S. Kuhn,
Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity
, 1894-1912 (Clarendon, Oxford, 1978).
<<

^[25]
Para precisar un poco más, diremos que Planck demostró que las ondas cuyo contenido energético mínimo es mayor que su supuesta contribución energética
promedio
(según la termodinámica del siglo XIX) se suprimen exponencialmente. Esta supresión es cada vez más rápida cuando examinamos ondas de frecuencia cada vez mayor.
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^[26]
La constante de Planck es 1.05 × 10
^–27
gramos-centímetros
²
/segundo.
<<

^[27]
Timothy Ferris,
Coming of Age in the Milky Way
(New York: Anchor, 1989), p. 286.
<<

^[28]
Stephen Hawking, ponencia en el
Amsterdam Symposium on Gravity
. Agujeros negros y teoría de cuerdas, 21 de junio de 1997.
<<

^[29]
Es conveniente recalcar que el planteamiento de Feynman en relación con la mecánica cuántica se puede utilizar para deducir el planteamiento basado en las funciones de onda, y viceversa; por lo tanto, los dos planteamientos son totalmente equivalentes. Sin embargo, los conceptos, el lenguaje y la interpretación que cada planteamiento pone de relieve son bastante diferentes, aunque las respuestas que da cada uno son absolutamente idénticas.
<<

^[30]
Richard Feynman,
QED: The Strange Theory of Light and Matter
(Princeton: Princeton University Press, 1988).
<<

^[31]
Stephen Hawking,
A Brief History of Time
(New York: Bantam Books, 1988), p. 175.
<<

^[32]
Richard Feynman, como lo cita Timothy Ferris en
The Whole Shebang
(New York: Simon & Schuster, 1997), p. 97.
<<

^[33]
En el caso de que todavía esté usted perplejo pensando cómo puede suceder alguna cosa dentro de una región del espacio que está vacía, es importante constatar que el principio de incertidumbre pone un límite a lo «vacía» que puede estar en realidad una región del espacio; este principio modifica lo que podamos entender por espacio vacío. Por ejemplo, cuando se aplica a las perturbaciones que pueden causar las ondas en un campo (como las ondas electromagnéticas que se desplazan por un campo electromagnético), el principio de incertidumbre muestra que la amplitud de una onda y la velocidad con la cual cambia su amplitud están sometidas a la misma relación inversa que la posición y la velocidad de una partícula: cuanto mayor sea la precisión con la que se especifique la amplitud, menos podemos saber sobre la velocidad con que cambia su amplitud. Entonces, cuando decimos que una región del espacio está vacía, lo que normalmente queremos decir es, entre otras cosas, que no hay ondas que pasen por esa región del espacio, y que todos los campos tienen valor cero. Con un lenguaje torpe, pero en definitiva útil, podemos reformular esto diciendo que las amplitudes de todas las ondas que atraviesan la región valen exactamente cero. Pero, si conocemos con exactitud las amplitudes, el principio de incertidumbre implica que la velocidad de cambio de las amplitudes es totalmente incierta y puede tomar en esencia cualquier valor. Sin embargo, si las amplitudes cambian, esto significa que en el momento siguiente
ya no valdrán cero
, aunque la región del espacio siga estando «vacía», En realidad, el campo será cero en
promedio
, ya que en algunos lugares será positivo, mientras en otros es negativo; en cuanto al promedio la energía neta de la región no ha cambiado. Pero esto es sólo como promedio. La incertidumbre cuántica implica que la energía del campo —incluso en una región vacía del espacio— fluctúa hacia arriba y hacia abajo, con un tamaño de las fluctuaciones que se hace cada vez mayor cuando las escalas de distancia y tiempo con las que se examina la región se hacen más pequeñas. La energía que contienen estas momentáneas fluctuaciones se puede convertir mediante la fórmula
E = mc
²
en la creación repentina de pares de partículas y sus correspondientes antipartículas, que se aniquilan mutuamente con gran rapidez, para impedir que cambie la energía, por término medio.
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