[91]
Para el lector aficionado a las matemáticas, aclararemos que, más exactamente, el número de familias de vibraciones de cuerdas es un medio del valor absoluto del número característico de Euler del espacio de Calabi-Yau, como ya mencionamos en la nota 16 del capítulo 9. Esto viene dado por el valor absoluto de la
diferencia
entre
h
2,1
y h
1,1
, donde
h
p,q
denota el número de Hodge
(p,q)
Salvo un cambio numérico, estos números indican la cantidad de ciclos homológicos, tridimensionales y no triviales («agujeros tridimensionales») y el número de ciclos homológicos bidimensionales («agujeros bidimensionales»). Y así, mientras en el texto principal hablamos del número total de agujeros, un análisis más preciso demuestra que el número de familias depende del valor absoluto de la diferencia entre los agujeros de dimensión par y los de dimensión impar. La conclusión, no obstante, es la misma. Por ejemplo, si dos espacios de Calabi-Yau difieren por el intercambio de sus respectivos
h
2,1
y h
1,1
números de Hodge, el número de familias de partículas —y el número total de «agujeros»— no cambiará.
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[92]
El nombre procede del hecho de que los «diamantes de Hodge» —un resumen matemático de los agujeros de distintas dimensiones en un espacio de Calabi-Yau— son reflejo especular unos de otros para cada espacio de Calabi-Yau formado por un par de espejos.
<<
[93]
El término
simetría especular
se utiliza también en otros contextos completamente diferentes dentro de la física, tales como la cuestión de la chiralidad —es decir, si el universo tiene simetría izquierda-derecha— como se explicó en la nota 7 del capítulo 8.
<<
[94]
El lector aficionado a las matemáticas se dará cuenta de que estamos preguntando si la topología del espacio es dinámica, es decir, si puede cambiar. Aunque, a menudo, podemos utilizar el lenguaje del cambio de topología dinámico, en la práctica nos referimos generalmente a una familia de
espacios-tiempos
cuya topología cambia en función del parámetro. En términos técnicos, este parámetro no es el tiempo, pero dentro de ciertos límites puede identificarse esencialmente con el tiempo.
<<
[95]
Para el lector aficionado a las matemáticas, diremos que este procedimiento incluye la supresión de las curvas racionales de una variedad de Calabi-Yau y el posterior uso del hecho de que, en determinadas circunstancias, la singularidad resultante se puede reparar mediante pequeñas resoluciones diferentes.
<<
[96]
K. C. Cole,
New York Times Magazine
, 18 de Octubre de 1987, p. 20.
<<
[97]
Albert Einstein, según se cita en John D. Barrow,
Theories of Everything
(New York: Fawcett-Columbine, 1992), p. 13.
<<
[98]
Resumamos brevemente las diferencias entre las cinco teorías de cuerdas. Para ello, hemos de tener en cuenta que las perturbaciones vibratorias pueden recorrer un bucle de cuerda en el sentido de las agujas del reloj, o en el sentido contrario. Las teorías de cuerdas del Tipo IIA y del Tipo IIB difieren en que en la última teoría, estas vibraciones en el sentido de las agujas del reloj y en el contrario son idénticas, mientras que en la primera son opuestas en cuanto a la forma.
Opuestas
tiene un significado matemático preciso en este contexto, pero lo más fácil es pensar en ella en los términos de los espines de los patrones vibratorios resultantes en cada teoría. En la teoría del Tipo IIB, resulta que todas las partículas giran en el mismo sentido (tienen todas la misma chiralidad), mientras que en la teoría del Tipo IIA giran en ambos sentidos (tienen ambas chiralidades). Sin embargo cada teoría posee supersimetría. Las dos teorías heteróticas difieren de un modo similar, pero más drástico. Cada una de sus vibraciones de cuerdas en el sentido de las agujas del reloj tiene el mismo aspecto que las de la teoría de cuerdas del Tipo II (cuando nos centramos exclusivamente en las vibraciones realizadas en el sentido de las agujas del reloj, las teorías del Tipo IIA y del Tipo IIB son la misma teoría), pero las vibraciones correspondientes en el sentido opuesto al de las agujas del reloj son las de la teoría bosónica de cuerdas original. Aunque las cuerdas bosónicas plantean problemas irresolubles cuando se eligen tanto para las vibraciones de cuerdas en el sentido de las agujas del reloj, como para las otras, en 1985 David Gross, Jeffrey Harvey, Emit Martinez y Ryan Rohm (todos trabajaban entonces en la Universidad de Princeton y doblaban al «Princeton String Quartet») demostraron que surge una teoría perfectamente coherente, si se usa en combinación con la teoría de cuerdas del Tipo II. La auténtica característica extraña es que desde que se publicó el trabajo de Claude Lovelace de la
Rutgers University
en 1971 y el de Richard Brower de la Universidad de Boston, Peter Goddard de la Universidad de Cambridge y Charles Thorn de la Universidad de Florida en Gainesville en 1972, se ha sabido que la cuerda bosónica requiere un espacio-tiempo de 26 dimensiones, mientras que la supercuerda, como ya hemos explicado, requiere uno de 10 dimensiones. Por lo tanto, las construcciones de cuerdas heteróticas son un extraño híbrido —una
heterosis
— donde, curiosamente, los patrones vibratorios en el sentido contrario a las agujas del reloj viven en 26 dimensiones y los modelos en el sentido de las agujas del reloj viven en 10 dimensiones. Antes de que el lector se haga un lío intentando comprender esta sorprendente unión, ha de saber que Gross y sus colaboradores demostraron que las 16 dimensiones adicionales de la parte bosónica deben arrollarse en una de las dos formas muy especiales, de dimensión superior y parecidas a una rosquilla, que dan lugar a las teorías Heterótica-O y Heterótica-E. Dado que estas 16 dimensiones adicionales de la parte bosónica están rígidamente arrolladas, cada una de estas teorías se comporta como si en realidad tuviera 10 dimensiones, justamente como en el caso del tipo II. Una vez más, ambas teorías heteróticas incluyen una versión de la supersimetría. Finalmente, la teoría del Tipo I es pariente cercana de la teoría de cuerdas del Tipo IIB, salvo que, además de los bucles cerrados de cuerdas que hemos mencionado en capítulos anteriores, tiene también cuerdas cuyos extremos no están conectados, es decir, las llamadas
cuerdas abiertas
.
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[99]
Cuando hablamos en este capítulo de respuestas «exactas», tales como el movimiento «exacto» de la Tierra, lo que esto significa realmente es la predicción exacta de alguna cantidad física
dentro de cierto marco teórico previamente elegido
Hasta que tengamos verdaderamente la teoría final —quizá la tengamos ahora, quizá no la tengamos jamás— todas nuestras teorías serán en sí mismas aproximaciones de la realidad. Pero este concepto de aproximación no tiene nada que ver con lo que discutimos en este capítulo. Aquí lo que nos preocupa es el hecho de que, dentro de una teoría determinada, a menudo es difícil, si no imposible, obtener las predicciones exactas que hace la teoría. En vez de esto, hemos de obtener esas predicciones utilizando métodos de aproximación basados en un planteamiento perturbativo.
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[100]
Estos diagramas son versiones de los llamados diagramas de Feynman llevados a la teoría de cuerdas. Richard Feynman inventó estos diagramas para realizar cálculos perturbativos dentro de la teoría de campos cuánticos de partículas puntuales.
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[101]
Más exactamente, todo par de cuerdas virtuales, es decir, todo bucle dentro de un diagrama dado, contribuye —entre otros términos más complicados— con un factor multiplicativo a la constante de acoplamiento de cuerdas. La existencia de más bucles implica más factores en el cálculo de la constante de acoplamiento de cuerdas. Si la constante de acoplamiento de cuerdas es menor que 1, las multiplicaciones reiteradas hacen que la contribución global sea cada vez menor; si la constante es igual o mayor que 1, las multiplicaciones reiteradas producen una contribución de la misma magnitud o mayor.
<<
[102]
Para el lector aficionado a las matemáticas, precisaremos que la ecuación afirma que el espacio-tiempo debe admitir una métrica de Ricci plana. Si dividimos el espacio-tiempo en un producto cartesiano de un espacio-tiempo de Minkowski y un espacio compacto de Kahler de seis dimensiones, el carácter plano de Ricci es equivalente a que este último espacio sea una variedad de Calabi-Yau. Ésta es la razón por la que los espacios de Calabi-Yau desempeñan un papel tan prominente en la teoría de cuerdas.
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[103]
Desde luego, no hay absolutamente nada que asegure que estos métodos indirectos estén justificados. Por ejemplo, del mismo modo que algunos rostros no poseen simetría izquierda-derecha,
podría
ser que las leyes de la física fueran diferentes en otras regiones remotas del universo, como explicaremos brevemente en el capítulo 14.
<<
[104]
El lector experto se dará cuenta de que estos planteamientos requieren la llamada supersimetría N=2.
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[105]
Para ser un poco más precisos, si llamamos
g
HO
a la constante de acoplamiento en la teoría Heterótica-O, y
g
I
a la constante de acoplamiento de la teoría del Tipo I, entonces la relación entre las dos teorías confirma que son físicamente idénticas siempre que se cumpla
g
HO
= 1/
g
I
que es equivalente a
g
I
= 1/
g
HO
. Cuando una constante de acoplamiento es grande, la otra es pequeña.
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[106]
Se trata de una analogía muy cercana a la dualidad entre
R
y 1/
R
que hemos explicado anteriormente. Si llamamos
g
IIB
a la constante de acoplamiento de cuerdas de la teoría del Tipo IIB, entonces lo cierto es que los valores
g
IIB
y 1/g
IIB
describen la misma física. Si
g
IIB
es grande, 1/g
IIB
es pequeña, y viceversa.
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[107]
Si todas las dimensiones excepto cuatro de ellas están arrolladas, una teoría con un total de más de once dimensiones origina necesariamente partículas sin masa con un espín mayor que 2, algo que prohíben tanto las consideraciones teóricas, como las experimentales.
<<
[108]
Una excepción notable es el importante trabajo de 1987 realizado por Duff, Paul Howe, Takeo Inami, y Kelly Stelle en el que incluyeron anteriores concepciones de Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin, y Townsend para afirmar que la teoría de cuerdas en diez dimensiones debe tener una profunda conexión con las once dimensiones.
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[109]
Más exactamente, este diagrama se debe interpretar diciendo que tenemos una única teoría que depende de un cierto número de parámetros. Entre los parámetros se incluyen constantes de acoplamiento, así como parámetros geométricos para el tamaño y la forma. En principio, tendríamos que ser capaces de utilizar la teoría con el fin de calcular valores concretos de todos esos parámetros —un valor concreto para su constante de acoplamiento y una forma concreta para la geometría del espacio-tiempo— pero con nuestros conocimientos teóricos actuales no sabemos cómo llevar a cabo esta tarea. Y así, para comprender mejor la teoría los especialistas en teoría de cuerdas estudian sus propiedades cuando los valores de esos parámetros varían recorriendo todos los valores posibles. Si se eligen los valores de los parámetros de tal forma que estén en alguna de las seis regiones peninsulares de la Figura 12.11, la teoría tendrá las propiedades inherentes a una de las cinco teorías de cuerdas, o a la supergravedad en once dimensiones, como ya se ha indicado. Si los valores de los parámetros se eligen de tal forma que estén en la región central, la física estará gobernada por la aún misteriosa Teoría-M.
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[110]
Sin embargo, hemos de poner de manifiesto que, incluso en las regiones peninsulares, existen algunos métodos exóticos en los que las branas pueden producir algún efecto sobre la física que conoce nuestra intuición. Por ejemplo, se ha sugerido que nuestras tres dimensiones espaciales extendidas podrían ser
ellas mismas
una tribrana extensa y desplegada. Si es así, cuando nos movemos en nuestras actividades diarias, estaríamos deslizándonos por el interior de una membrana tridimensional. Actualmente se está emprendiendo la investigación de estas posibilidades.
<<
[111]
Entrevista con Edward Witten, 11 de mayo de 1998.
<<
[112]
El lector experto se dará cuenta de que, cuando se somete a una simetría especular, una esfera tridimensional que se esté colapsando en un espacio de Calabi-Yau se dibuja como una esfera bidimensional que se está colapsando en el espacio espejo de Calabi-Yau —llevándonos aparentemente a la situación de las transiciones blandas que comentamos en el capítulo 11—. Sin embargo, la diferencia es que una remodelación especular de este tipo da como resultado que se desvanezca el campo de tensores antisimétricos B^„ —la parte real de la forma complejizada de Káhler en el espacio espejo de Calabi-Yau— y éste es un tipo de singularidad mucho más drástica que la que hemos comentado en el capítulo 11.
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[113]
Más precisamente, éstos son ejemplos de agujeros negros
extremados
: agujeros negros que tienen la masa mínima que es coherente con las cargas de fuerza que transportan, igual que los estados BPS del capítulo 12. Unos agujeros negros similares desempeñarán también un papel decisivo en la discusión sobre la entropía de los agujeros negros que veremos más adelante.
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