[34]
Aunque la ecuación inicial que escribió Schrödinger (la que incluía la relatividad especial) no describía exactamente las propiedades mecánico-cuánticas de los electrones que están en los átomos de hidrógeno, pronto se constató que era una ecuación válida cuando se utilizaba adecuadamente en otros contextos, y, de hecho, todavía está en uso actualmente. Sin embargo, en la época en que Schrödinger publicó esta ecuación, Oskar Klein y Walter Gordon ya se le habían adelantado, por lo que la ecuación relativista de Schrödinger recibe el nombre de «ecuación de Klein-Gordon».
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[35]
Para el lector aficionado a las matemáticas, queremos matizar que los principios de simetría utilizados en la física de partículas elementales se basan generalmente en los grupos, sobre todo en los grupos de Lie. Las partículas elementales están organizadas en representaciones de varios grupos y las ecuaciones que rigen su evolución en el tiempo han de respetar necesariamente las transformaciones simétricas asociadas. Para la fuerza nuclear fuerte, esta simetría se llama SU(3) (la análoga a las rotaciones tridimensionales ordinarias, pero actuando en un espacio complejo), y los tres colores de un tipo dado de quark se transforman en una representación tridimensional. El desplazamiento (del rojo, verde, azul al amarillo, índigo, violeta) mencionado en el texto es concretamente una transformación SU(3) que actúa en las «coordenadas de color» de un quark. Una simetría gauge es una simetría en la que las transformaciones del grupo pueden tener una dependencia del espacio-tiempo: en este caso, «rotando» los colores del quark de maneras diferentes en ubicaciones diferentes del espacio y en momentos diferentes en el tiempo.
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[36]
Durante el desarrollo de las teorías cuánticas de las tres fuerzas no gravitatorias, los físicos se encontraron también con cálculos que daban resultados infinitos. Sin embargo, con el tiempo gradualmente fueron dándose cuenta de que esos infinitos se podían suprimir mediante un instrumento llamado
renormalización
. Los infinitos que surgen al intentar fusionar la relatividad general y la mecánica cuántica son casos mucho más graves y no se pueden someter a una cura de renormalización. Más recientemente, los físicos han constatado que las soluciones infinitas son señal de que una teoría se está utilizando para analizar un dominio que se encuentra más allá de los límites de su aplicabilidad. Dado que el objetivo de la investigación actual es hallar una teoría cuyo ámbito de aplicación sea, en principio, ilimitado —la teoría «definitiva» o «final»— los físicos desean hallar una teoría en la que no aparezcan soluciones infinitas, independientemente de lo extremado que pueda ser el sistema físico que se está analizando.
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[37]
El tamaño de la longitud de Planck se puede entender basándolo en un sencillo razonamiento que tiene sus raíces en lo que los físicos llaman análisis dimensional. La idea es la siguiente: cuando una teoría se formula como un conjunto de ecuaciones, los símbolos abstractos deben estar ligados a características físicas del universo, si la teoría ha de estar en contacto con la realidad. En particular, debemos presentar un sistema de unidades tal que si un símbolo, por ejemplo, se ha de referir a una longitud, tengamos una escala mediante la cual se pueda interpretar su valor. Después de todo, si las ecuaciones muestran que la longitud en cuestión es 5, necesitamos saber si eso significa 5 centímetros, 5 kilómetros o 5 años luz, etc. En una teoría que incluye la relatividad general y la mecánica cuántica, surge de forma natural una elección de unidades, de la siguiente manera. Hay dos constantes referidas a la naturaleza de las cuales depende la relatividad general: la velocidad de la luz,
c
, y la constante de la gravedad de Newton,
G
. La mecánica cuántica depende de una constante referida a la naturaleza:
ħ
. Examinando las unidades de estas constantes (por ejemplo, c es una velocidad, por lo tanto se expresa como distancia dividida por el tiempo, etc). se puede ver que la expresión combinada √(
ħG
/
c
3
) tiene las unidades de una longitud; de hecho es 1,616 × 10
–33
centímetros. Ésta es la longitud de Planck. Dado que incluye datos de la gravedad y del espacio-tiempo (
G
y
c
) y tiene asimismo una dependencia mecánico-cuántica (
ħ
), establece la escala para las mediciones (la unidad natural de longitud) en cualquier teoría que pretenda fusionar la relatividad general y la mecánica cuántica. Cuando en este texto utilizamos la expresión «longitud de Planck», lo que significa tiene a menudo un sentido aproximado, indicando una longitud que está dentro de unos pocos órdenes de magnitud de 10
–33
centímetros.
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[38]
Actualmente, además de la teoría de cuerdas, hay otros dos métodos para fusionar la relatividad general y la mecánica cuántica que se están investigando activamente. Uno de ellos lo dirige Roger Penrose de la Universidad de Oxford y se conoce como
teoría del twistor
. El otro método, inspirado en parte por el trabajo de Penrose, lo dirige Abhay Ashtekar de la
Pennsylvania State University
y se conoce como el método de las
nuevas variables
. Aunque estos otros métodos no se van a explicar en este libro, existe una especulación creciente sobre la idea de que pueden tener una profunda conexión con la teoría de cuerdas y que, posiblemente, junto con la teoría de cuerdas, los tres planteamientos apuntan a la misma solución para fusionar la relatividad general y la mecánica cuántica.
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[39]
El lector experto se dará cuenta de que este capítulo se centra solamente en la teoría de cuerdas
perturbativa
; los aspectos no perturbativos se discuten en los capítulos 12 y 13.
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[40]
Entrevista con John Schwarz, 23 de diciembre de 1997.
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[41]
Tamiaki Yoneya, así como Korkut Bardakci y Martin Halpern, formularon sugerencias similares de forma independiente. El físico sueco Lars Brink contribuyó también significativamente al desarrollo de la teoría de cuerdas en sus primeros tiempos.
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[42]
Entrevista con John Schwarz, 23 de diciembre de 1997.
<<
[43]
Entrevista con Michael Green, 20 de diciembre de 1997.
<<
[44]
El modelo estándar sugiere un mecanismo por el cual las partículas adquieren masa —el mecanismo de Higgs, llamado según el físico escocés Peter Higgs—. Pero, desde la perspectiva de explicar las masas de las partículas, este modelo no hace más que desplazar el énfasis a la explicación de las propiedades de una hipotética «partícula donante de masa» —el llamado
bosón
de Higgs—. Las búsquedas experimentales de esta partícula están en marcha, pero una vez más, si se encuentran y se miden sus propiedades, estos valores serán datos que habrá que
introducir
en el modelo estándar, para el cual la teoría no ofrece explicación alguna.
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[45]
Para el lector aficionado a las matemáticas, ponemos de relieve que la asociación entre los patrones vibratorios de cuerdas y las cargas de fuerza se pueden describir con mayor exactitud del modo siguiente. Cuando se cuantiza el movimiento de una cuerda, sus posibles estados vibratorios se representan mediante vectores en un espacio de Hilbert, más o menos como en cualquier sistema mecánico-cuántico. Estos vectores se pueden etiquetar por sus valores propios según un conjunto de operadores hermíticos conmutativos. Entre estos operadores está el operador de Hamilton, cuyos valores propios dan la energía y, por lo tanto, la masa del estado de vibración, así como los operadores que generan varias simetrías gauge que la teoría respeta. Los valores propios de estos últimos operadores dan las cargas de fuerza transportadas por el estado vibratorio asociado de la cuerda.
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[46]
Basándose en ideas recogidas de la segunda revolución de las supercuerdas (comentada en el capítulo 12), Witten y, sobre todo, Joe Lykken del
Fermi National Accelerator Laboratory
han identificado en esta conclusión un sutil, pero posible, agujero de bucle. Lykken, aprovechando este descubrimiento, ha sugerido que podría ser que las cuerdas estuvieran posiblemente sometidas a mucha menos tensión, y fueran, en consecuencia, de un tamaño mucho mayor que el que inicialmente se les adjudicaba. De hecho, tan grandes que podrían ser observables para la próxima generación de aceleradores de partículas. Si esta remota posibilidad resulta verdadera, se plantea la emocionante perspectiva de que muchas de las importantes implicaciones de la teoría de cuerdas que se comentan en este y en los siguientes capítulos sean verificables experimentalmente durante la próxima década. Sin embargo, incluso en el marco más «convencional», adoptado por los especialistas en teoría de cuerdas, en el que las cuerdas son generalmente del orden de 10
–33
centímetros de longitud, existen modos indirectos para buscarlas experimentalmente, como veremos en el capítulo 9.
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[47]
El lector experto se dará cuenta de que el fotón producido en una colisión entre un electrón y un positrón es un fotón virtual y por consiguiente debe soltar su energía rápidamente disociándose en un par partícula-antipartícula.
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[48]
Por supuesto, una cámara funciona captando fotones que rebotan sobre el objeto enfocado y reuniéndolos sobre un trozo de película fotográfica. Nuestra utilización de una cámara en este ejemplo es simbólica, ya que no nos imaginamos que los fotones reboten sobre las cuerdas con las que chocan. Lo que queremos es sencillamente recoger en la Figura 6.7 (c) toda la historia de la interacción. Dicho esto, debemos señalar otro aspecto sutil que la discusión en el texto ha dejado encubierto. Vimos en el capítulo 4 que podemos formular la mecánica cuántica utilizando el método de Feynman de sumar trayectorias, en el que analizamos el movimiento de los objetos combinando las contribuciones de
todas
las trayectorias posibles que van desde algún punto de partida que se ha seleccionado, hasta algún destino elegido (contribuyendo cada trayectoria con un peso estadístico determinado por Feynman). En las Figuras 6.6 y 6.7 mostramos
una
de las infinitas trayectorias posibles recorridas por partículas puntuales (Figura 6.6) o por cuerdas (Figura 6.7), llevándolas desde sus posiciones iniciales hasta sus destinos definitivos. La discusión que se lleva a cabo en esta sección, no obstante, es aplicable igualmente a cualquiera de las demás trayectorias posibles y, por lo tanto, es aplicable a todo el proceso mecánico-cuántico en sí mismo. (La formulación de Feynman relativa a la mecánica cuántica de las partículas puntuales en el marco de las trayectorias sumadas se generalizó a la teoría de cuerdas mediante los trabajos de Stanley Mandelstarn de la Universidad de California en Berkeley, y del físico ruso Alexander Polyakov, que trabaja ahora en el cuerpo docente del departamento de física de la Universidad de Princeton).
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[49]
Albert Einstein, como lo cita R. Clark en
Einstein: The Life and Times
(New York: Avon Books, 1984), p. 287.
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[50]
Más exactamente, espín–½ significa que el
momento angular
del electrón a partir de su espín es
h
/2.
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[51]
El descubrimiento y desarrollo de la supersimetría tienen una historia complicada. Además de las ya citadas en el texto, hubo contribuciones tempranas esenciales realizadas por R. Haag, M. Sohnius, J. T. Lopuszanski, Y. A. Golfand, E. P. Lichtman, J. L. Gervais, B. Sakita, V. P. Akulov, D. V. Volkov y V. A. Soroka, entre otros muchos. Algunos de sus trabajos están documentados en Rosanne Di Stefano,
Notes on the Conceptual Development of Supersymmetry
, Institute for Theoretical Physics, State University of New York en Stony Brook, preimpresión ITP-SB-8878.
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[52]
Para el lector aficionado a las matemáticas diremos que esta extensión lleva consigo el aumento de las conocidas coordenadas cartesianas del espacio-tiempo mediante nuevas coordenadas cuánticas, por ejemplo
u
y v, que son anticonmutativas:
u
×
v
= –
v
×
u
. Se puede concebir entonces la supersimetría como traslaciones en este tipo de espacio-tiempo aumentado de una manera mecánico-cuántica.
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[53]
Para el lector que esté interesado en conocer más detalles sobre esta cuestión técnica, aclaramos lo siguiente. En la nota 6 del capítulo 6 decíamos que el modelo estándar alude a una «partícula donante de masa» (el bosón de Higgs) que dotaría de sus masas observadas a las partículas de las Tablas 1.1 y 1.2. Para que este procedimiento funcione, la partícula de Higgs no puede tener un peso demasiado grande; varios estudios muestran que su masa ciertamente no debe ser mayor que alrededor de 1.000 veces la masa de un protón. Pero resulta que las fluctuaciones cuánticas tienden a contribuir sustancialmente a la masa de la partícula de Higgs, haciendo que su masa se vaya acercando potencialmente a la escala de Planck. Los teóricos han descubierto, sin embargo, que este resultado, que revelaría un defecto importante en el modelo estándar, se puede evitar si ciertos parámetros del modelo estándar (sobre todo, la llamada masa simple de la partícula de Higgs) se ajustan con precisión de hasta 1 parte entre 10
15
para contrarrestar los efectos de dichas fluctuaciones cuánticas sobre la masa de la partícula de Higgs.
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[54]
Un aspecto sutil que se puede mencionar en relación con la Figura 7.1 es que se ha demostrado que la intensidad de la fuerza nuclear débil está entre la de la fuerza nuclear fuerte y la de la fuerza electromagnética, mientras que anteriormente hemos dicho que es inferior a ambas. La razón de esto se puede ver en la Tabla 1.2 en la que se pone de manifiesto que las partículas mensajeras de la fuerza nuclear débil tienen una masa bastante grande, mientras que las de la fuerza nuclear fuerte y las de la fuerza electromagnética no tienen masa. Intrínsecamente, la intensidad de la fuerza nuclear débil —según la medición realizada mediante su constante de acoplamiento (un método que encontraremos en el capítulo 12)— es como se muestra en la Figura 7.1, pero sus partículas mensajeras, dotadas de masa, son perezosas a la hora de transportar su influencia y hacen que sus efectos disminuyan. En el capítulo 14 veremos cómo encaja la fuerza gravitatoria en la Figura 7.1.
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