[55]
Edward Witten, conferencia en Heinz Pagels Memorial Lecture Series, Aspen, Colorado, 1997.
<<
[56]
Para una explicación a fondo de estos y otros conceptos relacionados, véase Steven Weinberg,
Dreams of a Final Theory
.
<<
[57]
Es una idea sencilla, pero dado que la imprecisión del lenguaje corriente puede a veces inducir a confusión, conviene hacer dos observaciones aclaratorias. En primer lugar, estamos suponiendo que la hormiga se ve obligada a vivir sobre la
superficie
de la manguera de riego. Si, por el contrario, la hormiga pudiera excavar una madriguera en el
interior
de la manguera —si pudiera penetrar en el material de goma de la manguera— necesitaríamos tres números para precisar su posición, ya que también tendríamos que indicar la profundidad hasta la que ha excavado. Pero, si la hormiga vive únicamente en la superficie de la manguera, su ubicación se puede especificar con tan sólo dos números. Esto nos lleva al segundo punto. Incluso en el caso de que la hormiga viva en la superficie de la manguera, podríamos, si optamos por ello, especificar su ubicación mediante tres números: las posiciones habituales izquierda-derecha, adelante-atrás y arriba-abajo de nuestro espacio tridimensional habitual. Sin embargo, una vez que sabemos que la hormiga vive en la superficie de la manguera, los dos números mencionados en el texto nos dan los datos
mínimos
que determinan de manera unívoca la posición de la hormiga. Esto es lo que queremos decir cuando hablamos de que la superficie de la manguera es bidimensional.
<<
[58]
Sorprendentemente, los físicos Savas Dimopoulos, Nima Arkani-Hamed y Gia Dvali, trabajando sobre anteriores descubrimientos de Ignatios Antionadis y Joseph Lykken, han señalado que, aunque una dimensión adicional arrollada tuviera un tamaño de un milímetro, es posible que todavía no hubiera sido detectada experimentalmente. La razón es que los aceleradores de partículas comprueban el microcosmos utilizando las fuerzas nucleares débil y fuerte, y la fuerza electromagnética. La fuerza de la gravedad en general se ignora, ya que es increíblemente débil cuando se utilizan las energías tecnológicamente accesibles. Pero Dimopoulos y sus colaboradores observaron que si la dimensión adicional arrollada produce impacto predominantemente en la fuerza de la gravedad (algo que resulta bastante plausible en la teoría de cuerdas), podía ser que ninguno de los experimentos realizados hasta el momento la hubieran detectado. En un futuro cercano se realizarán nuevos experimentos altamente sensibles a la gravedad que buscarán esas dimensiones arrolladas «grandes». Un resultado positivo sería uno de los mayores descubrimientos de todos los tiempos.
<<
[59]
Edwin Abbott,
Flatland
(Princeton: Princeton University Press, 1991).
<<
[60]
Albert Einstein en una carta a T. Kaluza citada en Abraham Pais,
“Subtle is the Lord”: The Science and the Life of Albert Einstein
(Oxford: Oxford University Press, 1982), p. 330.
<<
[61]
A. Einstein en una carta a T. Kaluza citada en D. Freedman y P. van Nieuwenhuizen, “The Hidden Dimensions of Spacetime”,
Scientific American
252 (1985), 62.
<<
[62]
Ibídem.
<<
[63]
Los físicos descubrieron que, dentro del modelo estándar, la característica que resultaba más difícil de expresar mediante una formulación definida en una dimensión superior era lo que se llama la
chirality
. Para no sobrecargar la discusión no hemos cubierto este concepto en el texto principal, pero lo haremos aquí brevemente para aquellos lectores que estén interesados. Supongamos que alguien nos muestra una filmación de algún experimento científico particular y nos plantea el desafío inusual de determinar si se filmó el experimento directamente o si se filmó su reflejo en un espejo. Como el operador era bastante experto, no hay indicios que revelen la utilización de un espejo. ¿Podríamos aceptar el desafío? A mediados de la década de 1950, los hallazgos teóricos de T. D. Lee y C. N. Yang, así como los resultados experimentales de C. S. Wu y sus colaboradores, demostraron que
se puede
aceptar el desafío, siempre y cuando se haya filmado el experimento adecuado. Concretamente, su trabajo establece que las leyes del universo no tienen una simetría de espejo perfecta, en el sentido de que la versión reflejada de ciertos procesos —aquellos que dependen directamente de la fuerza nuclear débil—
no pueden suceder en nuestro universo
, aunque el proceso original sí pueda suceder. Por consiguiente, cuando miramos la película, si vemos que tiene lugar uno de esos procesos prohibidos, sabemos que estamos viendo una imagen del experimento reflejada en el espejo, en vez del auténtico experimento. Dado que los espejos intercambian la izquierda y la derecha, la obra de Lee, Yang y Wu establece que el universo no tiene una simetría izquierda-derecha perfecta, es decir, en el lenguaje de los especialistas el universo es
chiral
. Ésta es la característica del modelo estándar (de la fuerza nuclear débil, en particular) que los físicos consideran casi imposible de incorporar a un marco de la supergravedad de dimensión superior. Para evitar confusiones, téngase en cuenta que en el capítulo 10 discutiremos un concepto de la teoría de cuerdas conocido como «simetría especular», pero el uso de la palabra «espejo» en ese contexto es completamente diferente del que tiene aquí.
<<
[64]
Para el lector aficionado a las matemáticas, diremos que una variedad de Calabi-Yau es una variedad compleja de Káhler con una clase principal de anulación de Chern. En 1957, Calabi formuló la conjetura según la cual toda variedad de este tipo admite una métrica de Ricci plana, y en 1977 Yau demostró que esto es cierto.
<<
[65]
Esta ilustración es cortesía de Andrew Hanson de la Universidad de Indiana y se realizó utilizando el paquete gráfico
Mathematica
3-D.
<<
[66]
Para el lector aficionado a las matemáticas diremos que concretamente este espacio de Calabi-Yau es una rodaja tridimensional real de la hipersuperficie quíntica en un espacio proyectivo complejo de cuatro dimensiones.
<<
[67]
Edward Witten, “Reflections on the Fate of Spacetime”
Physics Today
, Abril de 1996, p. 24.
<<
[68]
Entrevista con Edward Witten, 11 de Mayo de 1998.
<<
[69]
Sheldon Glashow y Paul Ginsparg, “Desperately Seeking Superstrings?”,
Physics Today
, Mayo de 1986, p. 7.
<<
[70]
Sheldon Glashow, en
The Superworld I
, ed. A. Zichichi (New York: Plenum, 1990), p. 250.
<<
[71]
Sheldon Glashow,
Interactions
(New York: Warner Books, 1988), p. 335.
<<
[72]
Richard Feynman, en
Superstrings: A Theory of Everything?
ed. Paul Davies and Julian Brown (Cambridge, Eng: Cambridge University Press, 1988).
<<
[73]
Howard Georgi, in
The New Physics
, ed. Paul Davies (Cambridge: Cambridge University Press 1989), p. 446.
<<
[74]
Entrevista con Edward Witten, 4 de Marzo de 1998.
<<
[75]
Entrevista con Cumrun Vafa, 12 de Enero de 1998.
<<
[76]
Murray Gell-Mann, citado en Robert P. Crease y Charles C. Mann,
The Second Creation
(New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press), 1996, p. 414.
<<
[77]
Entrevista con Sheldon Glashow, 28 de Diciembre de 1997.
<<
[78]
Entrevista con Sheldon Glashow, 28 de Diciembre de 1997.
<<
[79]
Entrevista con Howard Georgi, 28 de Diciembre de 1997. Durante la entrevista, Georgi también indicó que la refutación experimental de la predicción del decaimiento del protón que surgía de su propuesta con Glashow de la primera gran teoría unificada (ver Capítulo 7) juega un rol importante en su reluctancia a abrazar la teoría de supercuerdas. Afirmaba en tono mordaz que su gran teoría unificada se refería a un dominio de energía considerablemente mayor que el de cualquier teoría anterior, y, cuando se demostró que su teoría estaba equivocada —cuando resultó, según sus propias palabras, que «la naturaleza lo había derribado de una bofetada»— su actitud con respecto al estudio de la física de energías extremadamente altas cambió de una manera drástica. Cuando le pregunté si la confirmación experimental de su gran teoría unificada hubiera podido inducirle a remitir la carga a la escala de Planck, me respondió: «Sí, probablemente lo hubiera hecho».
<<
[80]
David Gross, “Superstrings and Unification”, en
Proceedings of the XXIV International Conference on High Energy Physics
, ed. R. Kotthaus y J. Kühn (Berlin: Springer-Verlag, 1988), p. 329.
<<
[81]
Dicho esto, vale la pena recordar la posibilidad remota, apuntada en la nota final 8 del capítulo 6, de que las cuerdas
podrían
ser significativamente más largas de lo que se pensó inicialmente y que, por consiguiente, dentro de unas pocas décadas podrían ser sometidas a una observación experimental directa mediante aceleradores de partículas.
<<
[82]
Para el lector aficionado a las matemáticas añadiremos que, dicho de un modo matemático más preciso, el número de familias es la mitad del valor absoluto del número de Euler del espacio de Calahi-Yau. El número de Euler es la suma alternante de las dimensiones de los grupos de homologías de las variedades, siendo estos grupos lo que vulgarmente denominamos agujeros multidimensionales. Así, hay tres familias que surgen de los espacios de Calabi-Yau cuyo número de Euler es ±6.
<<
[83]
Entrevista con John Schwarz, 23 de Diciembre de 1997.
<<
[84]
Para el lector aficionado a las matemáticas precisaremos que nos referimos a las variedades de Calabi-Yau con un grupo fundamental no trivial y finito, cuyo orden, en ciertos casos, determina los denominadores de las cargas fraccionarias.
<<
[85]
Entrevista con Edward Witten, 4 de marzo de 1998.
<<
[86]
Para el experto diremos que algunos de estos procesos infringen la conservación del número de leptones así como la simetría inversa del tiempo de la paridad de carga (charge-parity-time: CPT).
<<
[87]
Para completar lo dicho, añadamos que, aunque mucho de lo que hemos cubierto hasta ahora en el texto se aplica igualmente a las cuerdas abiertas (cuerdas con los extremos sueltos) y a los bucles de las cuerdas cerradas (las cuerdas en las que nos hemos centrado), en el tema que se discute aquí resultaría que los dos tipos de cuerdas tienen propiedades diferentes. Después de todo, una cuerda abierta no se va a enmarañar por hacer bucles en torno a una dimensión circular. No obstante, en 1989, con un trabajo que decididamente ha desempeñado un papel decisivo en la segunda revolución de las supercuerdas, Joe Polchinski, de la Universidad de California en Santa Bárbara, y dos de sus discípulos, Jian-Hui Dai y Robert Leigh, demostraron cómo las cuerdas abiertas encajan perfectamente en las conclusiones a las que llegamos en este capítulo.
<<
[88]
En el caso de que usted se esté preguntando por qué las posibles energías de vibración uniformes son múltiplos
enteros
de 1/
R
, basta con que retroceda mentalmente a la discusión sobre mecánica cuántica —concretamente el ejemplo del almacén— del capítulo 4. Allí vimos que la mecánica cuántica implica que la energía, como el dinero, se presenta en paquetes discretos: múltiplos enteros de distintas denominaciones o valores de la energía. En el caso del movimiento de vibración uniforme de las cuerdas en el universo de la manguera de riego, este valor de la energía es precisamente 1/
R
, como demostramos en el texto aplicando el principio de incertidumbre. Por lo tanto, las energías de vibración uniformes son múltiplos enteros de 1/
R
.
<<
[89]
Matemáticamente, la identidad entre las energías de las cuerdas en un universo dotado de una dimensión circular cuyo radio es o bien
R
, o 1/
R
, se deriva del hecho de que las energías son de la forma
v
/
R
+
wR
, donde
v
es el número cuántico de vibración u oscilación, y
w
es el número de enrollamiento. Esta ecuación es invariable con respecto al intercambio simultáneo de
v
y
w
, así como de
R
y 1/
R
—es decir, con respecto al intercambio de los números cuánticos de vibración y enrollamiento, y con respecto a la inversión del radio—. En nuestra discusión trabajamos con unidades de Planck, pero también lo podemos hacer con unidades más convencionales reescribiendo la fórmula de la energía en términos de √
α’
—la denominada escala de las cuerdas— cuyo valor es más o menos la longitud de Planck, 10
–33
centímetros. A continuación podemos expresar las energías de las cuerdas como
v
/
R
+
wR
/
α’
, que es invariable con respecto al intercambio de
v
y
w
así como de
R
y
α’
/
R
, donde estos dos últimos valores se expresan ahora en unidades convencionales de longitud.
<<
[90]
Puede que usted se esté preguntando cómo es posible que una cuerda que se despliega siempre en torno a una dimensión circular de radio
R
, sin embargo nos dé una medida del radio con valor 1/
R
. Aunque ésta es una preocupación plenamente justificable, la respuesta se basa realmente en la imprecisa formulación de la propia pregunta. Cuando decimos que una cuerda se enrolla envolviendo un círculo de radio
R
, necesariamente estamos aludiendo a una definición de distancia (de tal modo que la expresión «radio
R
» tenga sentido). Pero esta definición de distancia es la que resulta importante para los modos de cuerdas no enrolladas, es decir, los modos de vibración. Desde la perspectiva de
esta
definición de distancia —y sólo de esta definición— las configuraciones de las cuerdas enrolladas se estiran rodeando la parte circular del espacio. Sin embargo, a partir de la segunda definición de distancia, la que se refiere a las configuraciones de las cuerdas enrolladas, las configuraciones están formadas por cada trozo en cuanto a que dicho trozo se encuentra localizado en el espacio, al igual que los modos de vibración lo están desde la perspectiva de la primera definición de distancia, y el radio que «ven» es 1/R, tal como se dice en el texto.
Esta descripción explica en cierto modo por qué las cuerdas enrolladas y no enrolladas miden distancias que están en relación inversa. Pero, dado que esta cuestión es bastante sutil, quizá sea conveniente, para el lector aficionado a las matemáticas, que señalemos cuál es el análisis técnico en que se basa esto. En la mecánica cuántica ordinaria de las partículas puntuales, la distancia y el ímpetu (esencialmente la energía) están relacionados mediante la transformación de Fourier. Es decir, el estado propio |x> de posición en un círculo de radio
R
se puede definir mediante
|x> = Σ
v
e
ixp
|p>
;, donde
p
=
v/R
y |p> es un estado propio del ímpetu (la analogía directa de lo que hemos llamado el modo de vibración uniforme de una cuerda: movimiento global sin cambio en la forma). Sin embargo, en la teoría de cuerdas existe una segunda noción de estado propio de posición |x
~
> que se define utilizando los estados de enrollamiento de las cuerdas:
|x
~
> = Σ
w
e
ix
~
p
~
|p
~
>
donde p
~
> es un estado propio de enrollamiento, siendo
p
~
= wR
A partir de estas definiciones vemos que
x
es periódica con período 2
πR
mientras que x
~
es periódica con período 2
π
/
R
, mostrando que
x
es una coordenada de posición en un círculo de radio
R
~
, mientras que x
~
es la coordenada de posición en un círculo de radio 1/
R
. De una manera aún más explícita, podemos suponer que tomamos los dos paquetes de ondas |x> y
\x
~
>,
comenzando ambos, por ejemplo, en el origen, y que dejamos que evolucionen en el tiempo con el fin de aplicar nuestro método operativo para definir la distancia. El radio del círculo, según la medición de cada sondeo, es entonces proporcional al lapso de tiempo requerido para que el paquete vuelva a su configuración inicial. Puesto que un estado con una energía
E
evoluciona mediante un vector de fase en el que interviene
Et
, vemos que el lapso de tiempo, y por lo tanto el radio, es
t
~1/
E
~
R
para los modos de vibración y
t
~1/
E
~1/
R
para los modos de enrollamiento.
<<